Gauss törvénye

Könnyebb lesz eljutni a célunkhoz, ha definiálunk néhány hasznos fogalmat. Először is néhány szó az erővonalakról. Ezek főleg vizuális emberek számára jelentenek könnyebbséget a dolgok megértéséhez. Ezek az erővonalak mindig a térerősségek mentén futnak. Egy ponttöltésből pl. sugárirányban kifelé. Ez példa mutatja, hogy a erővonalak iránya a térerősség irányát definiálja, míg az erővonalak sűrűsége a térerősség nagyságát. A ponttöltéstől $r$ távolságban ugyanis az erővonalak sűrűsége $r^{2}$-tel fordított arányban csökken, mivel a felület $r^{2}$-tel arányosan nő. De a térerősség is $r^{2}$-tel fordított arányban csökken.

Az előadáson több példát felrajzolok majd, itt most inkább rátérek egy másik segédfogalom definiálására. A fluxus egy $S$ felületen keresztül nem más, mint a térerősség normálisának integrálja a felületen:

$$\Phi_{E}=\int_{S} \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} da$$ (40)

ahol $\mathbf{n}$ a felület normálvektora, azaz a felületre merőleges egységvektor. Látható, hogy a fluxus a felületen áthaladó erővonalak számával arányos.

Számítsuk ki egy $q$ ponttöltés terének fluxusát egy $R$ sugarú gömbön, aminek a középpontjában a töltés helyezkedik el.

$$\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} da = \oint E da = \int \dfrac{q... ...\epsilon_{0}} R_{2} R^{2} \sin \theta d\theta d\phi = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} q$$ (41)

Az első lépésben vektorok helyébe skalárt írtunk, mivel a gömb felületén a tér mindig a felületre merőleges. Rendkívül fontos, hogy $R^{2}$ kiesik, ami azt eredményezi, hogy az eredmény nem függ a gömb sugarától. Megmutatható, hogy bármilyen, a $q$ töltés körüli zárt felületre integrálhatunk, az eredmény ugyanaz. Sőt, a szuperpozíció elvét felhasználva, az is következik, hogy a zárt felületen belül akármennyi töltés lehet, a eredmény megint csak ugyanaz. Ez Gauss törvénye: bármely zárt felületen számított fluxus arányos a felület által bezárt töltéssel:

$$\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} da = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} Q_{encl}$$ (42)

Fontos hangsúlyozni, hogy a törvény levezetéséhez továbbra is csak a Coulomb-törvény és a szuperpozíciüó elve szükséges.

A divergenciatétel (amit neveznek Gauss-tételnek is) használatával ez az integrális forma differenciális egyenletté alakítható.

$$\oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} da = \int (\nabla \cdot \mathbf{E}) d\mathbf{r}$$ (43)

ahol a $V$ térfogat az $S$ felület határolt tér. A töltést megkaphatjuk a töltéssűrűség integráljaként:

$$Q_{encl} = \int _{V} \rho (\mathbf{r}) d\mathbf{r}$$ (44)

Ebből

$$\int (\nabla \cdot \mathbf{E}) d\mathbf{r}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int _{V} \rho (\mathbf{r}) d\mathbf{r}$$ (45)

Mivel a $V$ térfogat tetszőleges, a két integrál egyenlő, ha az integraduszok egyenlők:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho$$ (46)

Ez Gauss törvényének differenciális alakja és mellesleg a első Maxwell-egyenlet. Előnye, hogy lokális, nem függ a felület definíciójától. Gyakorlati alkalmazásokban az integrális alakot használjuk.