Vektorműveletek

Négyféle vektorműveletet definiálunk, az összeadást és háromféle szorzást:

1. Összeadás: paralelogramma szabály. Kommutatív:

   $$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}!\mathbf{A}$$ (1)

   
   
   és asszociatív:

   $$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$$ (2)

   
   

2. Skalárral való szorzás: a vektor hosszát változtatja, irányát nem (illetve negatív skalárral való szorzás a vektor irányát az ellenkező irányba változtatja). Disztributív:

   $$\alpha (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\alpha \mathbf{A}+ \alpha \mathbf{B}$$ (3)

   
   
   A fenti kettőből adódik, hogy vektort úgy vonunk ki egy másikból, hogy hozzáadjuk az ellentettjét (-1-szeresét):

   $$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+ (-\mathbf{B})$$ (4)

   
   

   A fenti két műveletet akárhányszor alkalmazhatjuk:

   $$\mathbf{A}=\sum_{i}\alpha_{i}\mathbf{B}_{i}$$ (5)

   
   
   ekkor azt mondjuk, hogy az $\mathbf{A}$ vektor az $\mathbf{A}_{i}$ vektorok lineáris kombinációja.

3. Skalárszorzat: két vektor skalárszorzata a vektorok hosszának szorzata, szorozva az általuk bezárt szög koszinuszával

   $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=AB \cos \theta$$ (6)

   
   
   A skalárszorzat kommutatív:

   $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$$ (7)

   
   
   és disztributív

   $$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}+ \mathbf{A}\cdot \mathbf{C}$$ (8)

   
   
   Geometriai interpretáció: $\mathbf{A}$ hossza szorova a $\mathbf{B}$ vektor $\mathbf{A}$-ra eső vetületével. Ha két vektor párhuzamos, akkor egyszerűen $\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=AB$. Egymásra merőleges vektorok skalárszorzata zérus. Egy vektor önmagával vett skalárszorzata

   $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}=A^{2}$$ (9)

   
   
   ahonnan a vektor hossza $A = \vert\mathbf{A}\vert=\sqrt {\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}}$. A vektorterek általános elméletében először definiálják a skalárszorzatot, majd annak segítségével definiálják a vektor hosszát. Egységvektorról beszélünk, ha $\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=1$

4. Vektorszorzat: két vektor vektoriális szorzata $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ szintén egy vektor, melynek iránya az $\mathbf{A}$ és $\mathbf{B}$ vektorok által kifeszített síkra merőleges mégpedig úgy, hogy $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ irányából nézve $\mathbf{A}$-t pozitív irányú (az óramutató járásával ellentétes) forgatással lehet $\mathbf{B}$ irányába forgatni (jobbkézszabály). A vektoriális szorzat hossza

   $$\vert\mathbf{A} \times \mathbf{B}\vert=AB\sin \theta$$ (10)

   
   
   A vektrorszorzás disztributív

   $$\mathbf{A} \times ( \mathbf{B}+ \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\times \mathbf{B}+(\mathbf{A}\times \mathbf{C}))$$ (11)

   
   
   de nem kommutatív

   $$\mathbf{B}\times\mathbf{A}=-(\mathbf{\mathbf{A}\times\mathbf{B}})$$ (12)

   
   
   Bármely vektor önmagával alkotott vektorszorzata nulla

   $$\mathbf{A}\times\mathbf{A}=\mathbf{0}$$ (13)