A belső tér és a Clausius-Mosotti-Debye egyenlet

A belső tér kiszámításához rajzoljunk képeletben egy gömböt, ami elég kicsi, hogy a polarizáció állandó legyen benne, de elég nagy, hogy több molekula helyezkedjen el benne. Ekkor a gömb középpontjában a tér felosztható a gömbben lévő részecskékből és a gömbön kívüli világból eredő összetevőkre. Megmutatható, hogy a gömbön belüli részecskék kiátlagolt hatása zérus, mert a gömb elég kicsi ahhoz, hogy a molekuák ugyanúgy vannak polarizálva. Ekkor szimmetriaokokból az eredő zérus. Képzeljük csak el, hogy a polarizáció északra mutat, ekkor a déli és északi félgömbben lévő dipólusok kioltják egymást. A gömbön kívülről kétféle hatás érkezik. Egyrészt maga a külső tér, másrészt a gömb felületén lévő polarizációs töltések hatása. Ez utóbbi azonban könnyen számolható (lásd.: ... ), mert feltettük, hogy a gömbön belül a polarizáció állandó. Ez az egyenletesen polarizált gömb esete; ennek a belsejében a tér (az $\mathbf{E}$ külső teret beleértve):

$$\mathbf{E}_{i}=\mathbf{E}+\dfrac{4\pi}{3}\mathbf{P}$$ (93)

Mivel $\mathbf{P}=(\epsilon-1)\mathbf{E}/4\pi$, a belső térre azt kapjuk, hogy

$$\mathbf{E}_{i}=\dfrac{\epsilon+2}{3}\mathbf{E}$$ (94)

Látható, hogy a végső egyenletben nem szerepel az üreg sugara tehát az egyenlet akkor is alkalmazhatő, ha egy molekulányi üreget hozunk létre.

Ha feltesszük, hogy a molekulák apolárosak, tehát hogy a permanens dipólusmomentum zérus, a mesteregyenletbe helyettesítve az ún. Clausius-Mosotti egyenletet kapjuk:

$$\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon+2}= \dfrac{4\pi}{3}\rho\alpha$$ (95)

Ez az egyenlet általában érvényes apoláros anyagokra, bár különféle korrekciói nagy nyomásra forgalomban vannak.

Ha feltesszük, hogy az irányító tér egyenlő a belső térrel ( $\mathbf{E}_{r}=\mathbf{E}_{i}$) a mesteregyenletbe való helyettesítéssel a a Debye-egyenlethez jutunk:

$$\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon+2}= \dfrac{4\pi}{3}\rho\left( \alpha +\dfrac{\mu^{2}}{3kT} \right)$$ (96)

Ez az egyenlet gázokban és poláros anyagok apoláros oldószerben alkotott híg oldataiban érvényes, amikor is a molekulák időátlagban távol vannak egymástól. Ekkor a közöttük levő kölcsönhatás kicsi és ez a leegyszerűsített kezelésmód és a $\mathbf{E}_{r}=\mathbf{E}_{i}$ feltevés alkalmazható.