A Poisson-egyenlet megoldása

A Poisson-egyenlet egy differenciálegyenlet, amit a megfelelő peremfeltételekkel meg kell oldani. Általában a töltéssűrűségeloszlás ismert, aminek ismeretében meg kell határozni a potenciált. Ez az egyenlet alkalmasabb a probléma megoldására, mint az I. Maxwell egyenlet (1. egyenlet). mert skaláregyenlet és nem vektoregyenlet.

Tegyük fel, hogy $\rho(x)$ rendelkezésre áll, mondjuk Monte Carlo szimulációval kiszámítottuk. A kettősréteg esetében a peremfeltételeink a következők: mind a potenciál, mind a térerősség nullához kell, hogy tartson ahogy $x\rightarrow \infty$.

Megmutatható, hogy a megoldás előáll a következő integrál alakjában:

$$\psi (x) = -\frac{1}{\epsilon_{0}\epsilon} \int_{x}^{\infty} \rho(x')(x-x')dx'$$ (8)

A bizonyítás egyszerű, kétszer differenciálni kell $\psi(x)$-et, és visszakapjuk a Poisson-egyenletet. Két tagra bontva a potenciált

$$\psi (x) = -\frac{x}{\epsilon_{0}\epsilon} \int_{x}^{\infty} \rho(x')dx' +\frac{1}{\epsilon_{0}\epsilon} \int_{x}^{\infty} \rho(x')x'dx'$$ (9)

és differenciálva (az első tagot szorzatként) kapjuk:

$$\frac{d\psi (x)}{dx} = -\frac{1}{\epsilon_{0}\epsilon} \int_{x}^{... ...-\frac{x}{\epsilon_{0}\epsilon} \rho(x) +\frac{x}{\epsilon_{0}\epsilon} \rho(x)$$ (10)

ahol felhasználtuk, hogy

$$\frac{d}{dx}\int_{x}^{\infty} \rho(x')dx'= \rho(x)$$ (11)

mivel a deriválás az integrálás inverz művelete. A 10. egyenletet újra differenciálva előáll a Poisson-egyenlet. Az elektromos térerősség a 10. egyenletből:

$$E(x)=-\frac{d\psi (x)}{dx} = \frac{1}{\epsilon_{0}\epsilon} \int_{x}^{\infty} \rho(x')dx'$$ (12)

Ha tehát a töltéssűrűség ismert, numerikus integrálás segítségével a potenciálprofil meghatározható a 8. egyenletből.