Szimuláció és elmélet összehasonlítása

A szimulációval való összehasonlításnak van egy problematikus pontja. A szimulációban az elektródtöltést rögzítjük és az elektródpotenciált kapjuk eredményül. A szimuláció egy jól meghatározott modellre a statisztikus hibán belül egzakt eredményt szolgáltat. A Gouy-Chapman elmélet csak egy közelítés (pontszerű ionok, linearizálás).

Felvetődik a kérdés, hogy az elektródpotenciált, vagy az elektródtöltést használjuk-e független változóként. Végezzük el az összehasonlítást így is meg úgy is. Azt az esetet, amikor $V$-t rögzítjük, megoldottuk az előző fejezetben. Most keressük meg a $V$-hez tartozó elektródtöltést! Ehhez integrálni kell a sűrűségprofilokat. Mivel a kettősrétegben levő töltés pontosan semlegesíti az elektródtöltést, felírhatjuk, hogy

$$\sigma = \int_{0}^{\infty} \left[ \sum_{i} q_{i}n_{i}(x)\right] dx$$ (24)

Az integrált felírva:

$$\int_{0}^{\infty} \left[ \sum_{i} q_{i}n_{i}^{B} - \sum_{i} \frac... ...{\infty} \left( \sum_{i} q_{i}^{2}n_{i}^{B} \right) \frac{V}{kT}e^{-\kappa x}dx$$ (25)

ahol a nem-exponenciális tagok a tömbfázis elektronegativitása miatt kiestek. Az integrálást elvégezve kapjuk

$$\sigma = \left( \sum_{i} q_{i}^{2}n_{i}^{B}\right) \frac{V}{\kapp... ...kappa^{2}\frac{\epsilon_{0}\epsilon V}{\kappa } = \epsilon_{0}\epsilon V \kappa$$ (26)

Az egyenlet megad egy összefüggést $V$ és $\sigma$ között, tehát bármelyiket választhatjuk független változóként. Tartsuk észben azonban, hogy a GC elmélet által adott $V\leftrightarrow \sigma$ viszony nem feltétlenül egyezik meg a valódi, szimulációk által adott $V\leftrightarrow \sigma$ viszonnyal.

Az elektród és a diffúzréteg elképzelhető, mint egy kondenzátor egy-egy fegyverzete. Valóban, a 26. egyenlet megadja azt az összefüggést, ami a kondenztátor potenciálját viszonyítja a kondenzátor töltéséhez. Ha a kapacitást úgy definiáljuk, hogy

$$C=\frac{\sigma}{V}$$ (27)

a kettősréteg kapacitására, a 26. egyenletből kapjuk, hogy:

$$C= \epsilon_{0}\epsilon \kappa$$ (28)